Herhangi Bir Pozitif N Tamsayısının M Parçaya Ayrışımlarının Sayısı İçin Bazı Formüller

Abstract

Pozitif n tamsayısının bir ayrışımı, artmayan sırada doğal sayıların toplamı şeklinde yazı lımıdır. Yani, π1 ≥ π2 ≥ ··· ≥ πm > 0 olmak üzere; n = π1 +π2 +···+πm toplamına n nin m parçalı bir ayrışımı denir ve P(n,m) ile gösterilir. Dört bölümden oluşan bu tezin birinci bölümünde pozitif bir n tamsayısının ayrışımlarına ilişkin temel kavramlar, ayrışım teorisi ile çarpımsallık arasındaki ilişki, üreteç fonksiyonu, Euler beşgensel sayı teoremi, asimptotik formül ve Ramanujan kongrüanslarına yer veril miştir. Bu tezde, n pozitif tamsayısının tam olarak m parçadan oluşan ayrışımlarının sayısı incelenmiştir. Bu kapsamda, P(n,m) polinomlarını quasi polinomlar cinsinden ifade eden Munagi’nin q-kısmi kesir ayrışımı yöntemi, P(n,m) nin fraktal yapısını veren Srdanov’un dikey ve yatay toplama yöntemleri ve Mattson’un hibrit yöntemi örneklerle açıklanmıştır. Tezde kullanılan gösterimler ve hesaplama yöntemleri de tanıtılmıştır. Literatürde P(n,m) nin elde edilmesinde P(n,m − 1) polinomlarının bilinmesinin kritik bir rol oynadığı görülmektedir. Bu nedenle ikinci bölümünde P(n,m) nin hesaplanma sında kullanılan yineleme bağıntısı, Bernoulli polinomları ve Faulhaber formülü ispatla rıyla sunulmaktadır. Üçüncü bölümünde, P(n,m) polinomları tam değer fonksiyonu ile ifade edilmiş ve m ≤ 10 için bu polinomlar açık bir biçimde verilmiştir. Ayrıca P(n,m−1) bilindiğinde P(n,m) nin genel formu elde edilmiş ve bu form kullanılarak P(n,11) türeti lirken; P(n,12) için sonuçlar doğrudan sunulmuştur. Son bölüm, bu çalışmanın bulgularını ve katkılarını özetlemektedir