Kuantum mekaniği, fonksiyonel analiz ve normlu bölmeli cebirler

Abstract

Bu çalışmada kuantum mekaniğinin aksiyomatiğini desteklemek için bazı arkaplan matematiksel materyaller ele alındı. Bu sebeple sembolik mantık, küme teorisi ve gönderimler, topolojik uzaylar, metrik uzaylar, Banach uzayları ve Hilbert uzayları çalışıldı. Sonrasında, kuantum mekaniğinin postülalarını modern fonksiyonel analiz teorisinde bulunan matematiksel yapılara uygun olarak sunuldu. Bunları takiben normlu bölmeli cebirlerin (reel sayılar, kompleks sayılar, kuaternionlar ve oktonionlar) özellikleri çalışıldı ve üç katmanlı yolun ana şeması verildi. Bu, karşılaşılan problemlerin, karşılık gelen Hilbert uzaylarını temsillerle ve sırasıyla reel ve kuaternionik olarak sınıflandırılan yapılarla donatarak çözülebileceği anlamına gelmektedir.

In this work, some mathematical background materials have been introduced in order to support the axiomatic formulation of quantum mechanics. Accordingly, symbolic logic, set theory and mappings, topological spaces, metric spaces, Banach spaces, and Hilbert spaces have been studied. Later on the postulates of quantum theory have been prescribed in accordance with the given mathematical structures residing in the theory of modern functional analysis. Followingly the properties of normed division algebras (real numbers, complex numbers, quaternions and octonions) have been worked on, and the main scheme called the three-fold way has been given. This means that the problems faced upon real and quaternionic quantum theory can be solved by seeing the corresponding Hilbert spaces as equipped with representations and the structures that are classified respectively as real and quaternionic.