İki değişkenli sonlu ortogonal polinom aileleri ve bazı özellikleri
Özet
Bu tez sekiz bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde; çalışma boyunca kullanacağımız temel tanım ve kavramlar hatırlatılmıştır. Üçüncü bölümde; ilk olarak bir aralıkta tek değişkenli ortogonal polinomun tanımı, iyi bilinen tek değişkenli ortogonal polinom aileleri ve bu polinomların özellikleri verilmiştir. Daha sonra bir bölgede iki değişkenli ortogonal polinomlardan bahsedilmiş ve böylesi polinomları elde edebilmek için Koornwinder'in (1975) metodu hatırlatılmıştır. Ayrıca bu metod kullanılarak ortaya çıkarılmış bazı bilinen polinomların tanımları sunulmuştur. Dördüncü bölümde; tek değişkenli sonlu ortogonal polinomlar ve genel özellikleri verilmiştir. Beşinci bölümde; tezin özgün bir bölümünü oluşturan iki değişkenli sonlu ortogonal polinomlar elde edilmiş ve elde edilen iki değişkenli polinom aileleri için rekürans bağıntıları, sağladıkları kısmi türevli denklemler, doğurucu fonksiyonlar, ortogonallik bağıntıları ve Rodrigues formülleri gibi temel özellikleri verilmiştir. Bu polinomların ve yukarıda sayılan genel özelliklerinin limit durumları incelenerek sonlu ve sonsuz ortogonal polinomlar arasında bağıntılar elde edilmiş ve bu esnada yeni ortogonal polinom aileleri ortaya çıkarılmıştır. Altıncı bölüm tezin özgün bölümlerinden birisidir ve bu bölümde değişkenlerine ayrılabilir iki ortogonal polinomun çarpımı için Lee (2005) tarafından verilen 4. basamaktan kısmi türevli denklem elde etmeyi sağlayan metod yardımıyla beşinci bölümde tanımlanan değişkenlerine ayrılabilir iki değişkenli sonlu ortogonal polinom ailelerinin sağladıkları 4. basamaktan kısmi türevli denklemler verilmiştir. Üstelik bu kısmi türevli denklemlerin limit durumlarının da polinomların limiti olan sonuçlar tarafından sağlandığı görülmüştür. Yedinci bölümde; beşinci bölümde bahsi geçen iki değişkenli sonlu ortogonal polinom ailelerinin Fourier dönüşümleri yardımıyla elde edilen özel fonksiyon aileleri tanıtılmıştır. Bu kısım da tamamıyla özgündür. Sekizinci bölümde; yapılan çalışmalar ile ilgili sonuçların değerlendirilmesine yer verilmiştir.