Ortogonal ve biortogonal polinomları içeren bazı lineer pozitif operatörlerin yaklaşım özellikleri
Özet
Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, öncelikle lineer pozitif operatörler tanıtılacak ve bu operatörlerin temel özellikleri incelenecektir. Süreklilik modülünün tanımı verilecek ve sağladığı bazı özellikler ispatlanacaktır. Daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel tanımlar ve q-analizinde sadece ihtiyacımız olan tanımlar verilecektir. Ayrıca lineer pozitif operatörlerin önemine değinilecek, Bernstein'ın Weierstrass problemi için verdiği teorem hatırlatılacak ve Korovkin teoremi ifade ve ispat edilecektir. Üçüncü bölümde, Konhauser polinomlarını içeren lineer pozitif operatörler tanıtılacak ve Korovkin teoreminin koşularının gerçeklendiği gösterilecektir. Ayrıca bu o- peratörlerin yakınsama hızları, süreklilik modülü, Lipschitz sınıfından olan fonksi- yonlar ve Peetre K-fonksiyoneli yardımıyla hesaplanacaktır. Bu operatörün r-inci basamaktan genelleştirilmesi verilecek ve bu operatörün yakınsama hızı, süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfından olan fonksiyonlar yardımıyla elde edilecektir. Daha sonra Konhauser polinomlarını içeren lineer pozitif operatörlerin diferensiyel denk- lemlere uygulanması verilecektir. Dördüncü bölümde, Konhauser polinomlarını içeren operatörlerin Kantorovich tipli bir genelleştirilmesi verilecektir. Burada Konhauser polinomlarının açık ifadesi, doğurucu fonksiyonu ve sağlamış olduğu rekürans bağıntılarından bahsedilecektir ve bu operatörün yaklaşım özellikleri incelenecektir. Ayrıca bu operatörlerin yaklaşım hızı, sırasıyla süreklilik modülü, Lipschitz sınıfından fonksiyonlar ve Peetre K-fonksiyoneli yardımıyla hesaplanacaktır. Aynı operatörün r-inci basamaktan bir genelleştirilmesi elde edilecek, r-inci genelleştirilme ile operatör arasındaki bir eşitsizlik ifade ve ispat edilecektir. Bu eşitsizlik yardımı ile r-inci basamaktan genelleştirilmiş operatörün yaklaşım hızı, süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfından fonksiyonlar yardımıyla hesap- lanacaktır. Beşinci bölümde ise q-Laguerre polinomlarını içeren lineer pozitif operatörlerin Kantorovich tipli genelleştirilmesi verilecektir. Öncelikle operatör oluşturulacak sonra Korovkin teoreminin bu operatör için de gerçeklendiği ispat edilecektir. Daha sonraki kısımda ise, operatörün yaklaşım hızı birinci ve ikinci basamaktan süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfından fonksiyonlar yardımıyla hesaplanacaktır. Altıncı bölümde, tezde elde edilen sonuçlar tartışılmıştır.