Mandelbrot cümlesi ve tarihçesi
Özet
Matematikte en güzel ve en karmaşık şekillerden biri 1980 yılında Benoit Mandelbrot tarafından keşfedilen Mandelbrot cümlesidir. 0 ın altında sonsuza gitmeyen yörüngesindeki tüm kompleks c- değerlerinin cümlesi olan Mandelbrot cümlesi iterasyon ile oluşturulur. Her c- değeri için bir Julia cümlesi, vardır ve bu cümle ya irtibatlıdır ya da bir Cantor cümlesidir. Eğer 0 ın yörüngesi bir n- periyotlu çeken yörüngeye (attracting cycle) yöneliyorsa o halde her bir dekorasyon için n sayısını tomurcukların periyodu olarak belirleyebiliriz. Mandelbrot cümlesinin sınırında sonsuz çoklukta tomurcuk vardır. Ana kardiyoide tutturulmuş olan her bir temel tomurcuğu bir rasyonel sayısı ile bağdaştıracağız. tomurcukların rotasyon sayısıdır. Paydadaki q değeri tomurcuğun periyodu ve paydaki p değeri ise tomurcuğun neslidir. Ve nihayet Mandelbrot cümlesinin tomurcukları arasında Fibonacci dizisi vardır. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde bu çalışmanın kapsamı anlatılmaktadır. İkinci bölümde temel tanımlar verilmiştir. Mandelbrot cümlesinin özelikleri, sınırı, tomurcukları, tomurcuklarının periyotları, karmaşık yapısı üçüncü bölümde açıklanmakta ve sonuçlar dördüncü bölümde verilmektedir.Abstract One of the most intricate and beautiful images in all of mathematics is the Mandelbrot set, discovered by Benoit Mandelbrot in 1980. The Mandelbrot set which consists of all of those complex c- values for which the corresponding orbit of 0 under x2 + c does not escape to infinity is generated by iteration. For each c- value, there is a Julia set, Jf and it is either a connected set or a Cantor set. If the orbit of 0 tends to an attracting cycle of period n then we may assign n to each decoration as the period of the bulb. There are infinitely many bulbs on its boundary. We associate a rational number to each primary bulb which is directly attached to the main cardioid. is bulb’s rotational number. The denominator q simply is the period and the nominator p is the generation of the bulb. And finally there is a Fibonacci sequence between the bulbs of Mandelbrot set. This thesis is composed of four chapters. In the first chapter, the content of the thesis are explaned. In the second chapter, basic definitions are given. Properties of the Mandelbrot set, its boundary, bulbs, bulb’s period, complex structure, ...are described in the third chapter and conclusions are given in the fourth chapter.