Harmonik fonksiyonların temel özellikleri ve poliharmonik fonksiyonlar
Özet
Bu yüksek lisans tezi beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, ön bilgiler ve bazı temel kavramlar verilmiştir. İkinci bölümde, Laplace denkleminin çözümleri olan harmonik fonksiyonlar tanımlanmıştır. Daha sonra değişkenlerine ayırma metodu kullanılarak bazı temel harmonikler elde edilmiş ve harmonik fonksiyonların, çemberlere ve kürelere göre inversiyonları incelenmiştir. Laplace denklemi ile ilgili sınır değer problemleri, harmonik fonksiyonlar için ortalama değer teoremi ve maksimum prensibi verilmiştir. Ayrıca Fourier serileri kullanılarak birim dairede Dirichlet probleminin çözümü elde edilmiş ve bu çözüm için Poisson integral formülü verilmiştir. Üçüncü bölümde, Green fonksiyonu yardımıyla Dirichlet probleminin çözümü elde edilmiştir. Harmonik fonksiyonların ileri özellikleri, elektrostatik görüntü metoduyla Green fonksiyonun belirlenmesi, kompleks değişkenli analitik fonksiyonlar ile iki boyutlu Laplace denkleminin ilişkisi ve Neumann problemi incelenmiştir. Dördüncü bölümde, poliharmonik denklem tanımlanmış, bu denklemin çözümleri olan poliharmonik fonksiyonların ve ? Laplace operatörünün bazı özellikleri üzerinde durulmuştur. Ayrıca poliharmonik bir fonksiyonu harmonik fonksiyonlar cinsinden ifade eden Almansi açılımı elde edilmiştir. Tezin son bölümünde Genelleştirilmiş Eksensel Simetrik Potansiyel Teori (GASPT) denklemi tanımlanmıştır. Bu denklem ile tanımlanan L operatörünün ve denklemi sağlayan genelleştirilmiş eksensel simetrik potansiyel fonksiyonların bazı özellikleri verilmiştir. Son olarak, poli eksensel simetrik potansiyel fonksiyonlar için Almansi açılımı elde edilmiştir.