Kuaterniyonik eğrilerin diferensiyel geometrisi üzerine

Abstract

Bu tezde, kuaterniyonik eğrilerin diferensiyel geometrisi sistematik bir biçimde ele alınmıştır. Çalışmanın temel amacı $3$ ve $4$ boyutlu Öklid uzayında eğriler teorisinde kullanılan Frenet ve Sabban çatılarının kuaterniyonik çatıda (Bharathi ve Nagaraj, Aksoyak) ifade edilmesi ve bu yapıları da içeren daha genel kuaterniyonik $h$-ortonormal çatılar üretmektir. Bu doğrultuda, tezin 2. bölümün de öncelikle Öklid uzayında diferensiyellenebilir eğriler, Frenet çatısı ve Sabban çatısına ait temel tanım ve teoremler sunulmuş; ardından Bharathi ve Nagaraj tarafından geliştirilen kuaterniyonik eğriler teorisi $\mathbb{R}^3$ ve $\mathbb{R}^4$ uzaylarında ispatları ile birlikte verilmiştir. Tezin 3. bölümünde Sergio tarafından kuaterniyonik eğriler ile ilgili farklı bir yaklaşım ile oluşturulan teorilere ve ispatlarına yer verilmiştir. Daha sonra Aksoyak tarafından, birim küreler üzerinde yatan kuaterniyonik eğriler için Sabban çatısı teorisi ayrıntılı biçimde bazı ispatları ile birlikte incelenmiştir. Bu kapsamda, birinci ve ikinci tip kuaterniyonik Sabban çatısı ifade edilmiş ve bu çatılara ait Frenet-Serret formülleri verilmiştir. Tezin 5. ve son bölümü ise herhangi bir uzaysal kuaterniyonik eğri boyunca keyfi bir birim, türevlenebilir uzaysal kuaterniyon yardımıyla oluşturduğumuz bir genelleme için ayrılmıştır. Tezin orijinal sonuçları bu bölümde yer almaktadır. Tez boyunca, teorileri örnekleyen eğrilere ve grafiklerine ayrıca önem verilmiştir.