Çok değişkenli ortogonal polinomların özelliklerinde bazı genişletmeler

Abstract

Bu tez sekiz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak olan bazı tanımlar ve lemmalar verilmektedir. Üçüncü bölümde, bir değişkenli ortogonal polinomlar ve onların bazı özellikleri tanıtılmaktadır. Dördüncü bölümde, bir bölgede ortogonal olan iki değişkenli polinomların temel özellikleri incelenip, iki değişkenli polinom çözümlere sahip kabul edilebilir kısmi türevli denklemlerin genel formu verilmektedir. Ayrıca, iki değişkenli ortogonal polinomların çeşitli aileleri üzerinde durulmaktadır. Beşinci bölümde, çok değişkenli ortogonal polinomlar tanıtılmaktadır. Çok değişkenli Polinom çözümlere sahip kabul edilebilir kısmi türevli denklemlerin genel formu verilmekte ve böylesi denklemlerin bazı ortogonal polinom çözümleri ele alınmaktadır. Altıncı bölümde, çok değişkenli Lagrange polinomları ile Jacobi polinomları arasındaki bir ilişki verilmektedir. Tezin yedi ve sekizinci bölümleri orjinal bulguları içermektedir. Yedinci bölümde, iki değişkenli ortogonal polinomların yeni bir sınıfı tanımlanmış ve bu polinomlar için çeşitli rekürans bağıntıları ve integral gösterimleri elde edilmiştir. Son bölüm olan sekizinci bölümde ise çok değişkenli Hermite ve Gegenbauer polinomları için bazı yeni sonuçlar verilmektedir.Abstract This thesis consists of eight chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, some definitions and lemmas that will be needed for later use are given. In the third chapter, orthogonal polynomials with one variable and some properties are discussed. In the fourth chapter, the general properties of orthogonal polynomials in two variables over a domain are examined and then, the general form of the admissible diferential equations of second order which have polynomial solutions in two variables are given. Also, several families of orthogonal polynomials in two variables are presented. In the fifth chapter, orthogonal polynomials in several variables are presented. Admissible partial diferential equations of second order in general form which have polynomial solutions of several variables are given and some of the orthogonal polynomials satisfying such diferential equations are examined. In the sixth chapter, a relationship between Lagrange polynomials in several variables and Jacobi polynomials is given. The seventh and eighth chapters of this thesis include the original results. In the seventh chapter, a new class of orthogonal polynomials in two variables is introduced and various recurrence relations and integral representations for these polynomials are obtained. In the eighth chapter which is the last chapter, some new results for the multivariable Hermite and Gegenbauer polynomials are given.