Ayrık sistemlerde çatallanma ve kaos

Abstract

Bu tezde ayrık sistemlerde çatallanma ve kaos incelenmiştir. İlk olarak ayrık sistemlerde kullanılan skaler fark denklemleri hakkında temel bilgiler verilerek bu bilgilerle beraber fark denklemlerinden elde edilen sabit noktalar ve periyodik sabit noktalar gösterilmiştir. Bu sabit noktaların ve periyodik sabit noktaların kararlılıkları hakkında tanımlar verilmiştir. Daha sonra skaler fark denklemleri ile fark denklem sistemleri arasında bağlantıyı kurmak için temel lineer cebir bilgileri kullanılmıştır. Fark denklem sistemlerindeki bazı sabit noktalar için Lyapunov üsteli tanımı verilmiş ve ardından lineer olmayan sistemler ele alınarak bu sistemler için lineerleştirme yöntemi anlatılmıştır. Tezin ana kısmında öncelikle skaler fark denklemler ele alınarak çatallanma türleri verilmiş ve bunlar açıklanmıştır. Ardından fark denklem sistemlerine geçmeden önce merkez manifold teoremi açıklanmış ve çatallanma türleri fark denklem sistemleri için gösterilmiştir. Ek olarak bu kesimde yeni bir çatallanma türünden bahsedilmiş ve bu bir örnekle daha net açıklanmıştır. Ardından kaos temasına geçilmiştir. Devaney'in kaos tanımı kullanılmış ve kaos için gerekli koşullardan bahsedildikten sonra sistemin yorumlanabilmesi için kaosun kontrolü kavramı açıklanmıştır. Kaos kontrolü için Ott, Grebogi ve Yorke (OGY) yöntemi tanımlanmış ve bu yöntem için geri besleme kontrol tekniğinden ve kutup yerleştirmeden bahsedilmiştir. Tüm bu tanım ve teoremler neticesinde ayrık sistemlerde oluşan çatallanmalar ve kaos hakkında bir genelleme elde edilmiştir.